Q) prove Euler's formula

Euler's formula, also known as Euler's identity, states that e^(itheta) = cos(theta) + isin(theta) for all real numbers theta.

To prove this formula, we can start with the Taylor series expansions of e^(ix) and cos(x) + i*sin(x).

e^(ix) = 1 + ix + (ix^2)/2! + (ix^3)/3! + ...

cos(x) + i*sin(x) = 1 - (x^2)/2! + (ix^2)/2! - (x^4)/4! + (ix^4)/4! - ...

Matching the real and imaginary parts of these two equations, we see that:

1 = 1
ix = ix
(ix^2)/2! = -(x^2)/2!
(ix^3)/3! = (x^3)/3!
...

Since the coefficients of each term match on both sides of the equation, we can conclude that e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) for all real numbers x, which is exactly the Euler's formula.