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  1. 2015.05.16 디지털 신호를 표시하기 위한 이진수와 16진수

 디지털 신호(digital signal)은 이진 표현을 사용한다. 특히나 uC(마이크로컨트롤러) 프로그래밍에서는 이진수와 16진수를 많이 취급하게 되며, 이들 숫자를 조작하는 방법을 아는 것도 중요하지만 이에 앞서서 이진수와 16진수에 대한 개념을 이해하는 것도 중요하다.


이진수 (binary number)


 이진수 시스템은 두 수 (0,1)를 갖는 기수 2 시스템이다. 11010.11과 같은 이진수는 1과 0의 열과 2진 소수점으로 표현된다. 2진수와 같은 값을 갖는 10진수는 기수 2를 갖는 거듭제곱 수의 나열로 숫자를 확장해서 찾을 수 있다. 예를 들면



[표 1] 2의 거듭 제곱


  [표 1]에 2의 거듭제곱 을 기록하였다. 이 중에서 2의 10승까지는 외우는 것이 앞으로 프로그래밍하는데 있어서 여러모로 편리하다. 또한 8자리 이진수의 최대값은 255, 16자리 이진수의 최대값은 65,535 라는 것도 알아두면 나중에 C언어 변수의 가용 범위를 계산할 때 유용하다. 그 이상은 2의 10승이 약 1,000이라는 사실로 부터 추산할 수 있다.


 이진수에서 각 자리의 수를 비트(bit)라고 한다. 비트가 0일 때는 십진수로 변환하는 합에 영향을 미치지 않는다. 그러므로 10진수로의 변환은 비트가 1인 2의 거듭제곱수의 합으로 얻을 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.


마이크로프로세서(혹은 컴퓨터 작업 시)에서는 2의 10승을 K(kilo), 2의 20승을 M(mega), 2의 30승을 G(giga), 그리고 2의 40승을 T(Tera)라고 한다. 따라서



이다.


16진수 (hexadecimal number)


 16진수를 사용하여 이진수를 더 간결하게 표현할 수 있는데 네 자리의 이진수를 한 자리의 16진수로 표현할 수 있기 때문이다. 그러므로 디지털 시스템에서는 2진수를 기술하기 위해 16진수를 많이 사용한다.

 16진수는 15까지 한자리로 표현되고 16이 되면 두 자리로 넘어간다. 따라서 10진 시스템에서 가져온 0, 1, 2, … 8, 9 등 열 개의 숫자와 10, 11, 12, 13, 14, 15를 하나의 숫자로 표현하기 위해 사용되는 문자 A, B, C, D, E, F를 갖는 기수 16 시스템이다.


[표 2] 십진수, 이진수, 팔진수, 16진수의 관계


[표 2]에 16진수 0부터 15까지를 이진수와 팔진수로 표현한 것을 기술하였다. 이중에서 이진수와 16진수와의 관계는 눈여겨 보아야 한다. 이진수에서 16진수로의 변환은 2진 숫자를 소수점부터 시작하여 왼쪽과 오른쪽으로 4자리씩 구분하여 쉽게 얻어진다.



십진수로의 변환


 십진수에서 이진수로 변환하는 편리한 방법은 주어진 십진수를 반복해서 2로 나누어서 그때마다 나머지를 써두고, 그 몫을 다시 2로 나누는 방법을 몫이 0이 될 때까지 반복한 후 아래에서부터 위로 나머지를 읽어가는 방법이다.


 예를 들어 십진수 103을 이진수로 변환하면 다음과 같다.



따라서 가 된다.


 이번에는 0.125 같은 십진수의 소수값을 이진수로 변환시키는 방법을 알아보자. 주어진 소수값에 2를 곱한다음 그 결과값이 1을 넘으면 1을 써두고 1을 넘지 않으면 0을 써둔 다음 그 너머지 소수값에 다시 2를 곱한다. 이것을 소수값이 없어질 때까지 반복한 다음, 써둔 결과를 위에서 부터 읽어 내려간다. 즉,



십진수에서 팔진수 혹은 16진수로의 변환도 8 혹은 16으로 나누고 곱한다는 것만 빼고 위와 동일하게 얻어진다.


보수 (complementary number)


 디지털시스템에서는 음수를 표현하기 위해서 2의 보수(2‘s complement)를 사용한다. 1의 보수(1’s complement)는 0과 1을 서로 바꾸어서 얻을 수 있다. 즉 0→1, 1→0으로 변환하는 것이다. 예를 들어서



n개의 자리수를 가진 이진수 N이 주어지면 그것의 2의 보수는 N이 0이 아닐때이고 N=0 일 때 0으로 정의한다. 2의 보수는 1의 보수에 1을 더하여 얻을 수 있다. 예를 들어



또한 2의 보수는 최하위자리 0과 첫 번째 자리 1을 모두 변하지 않게 하고 다른 모든 상위자리 비트에 있는 1을 0으로, 0을 1로 바꾸어 만들 수 있다. 그래서 1101100 의 하위 자리수에 있는 2개의 0과 첫번째 1을 그대로 두고 다른 4개의 상위자리의 비트를 0을 1로 1을 0으로 바꾸어서 0010100 를 얻을 수 있다. 보수의 보수가 원래의 값을 갖는다는 것도 중요한 사실이다.

 앞에서도 밝혔듯 디지털 시스템에서는 2의 보수로서 음수를 표시한다. 예를 들어 8bit 숫자 체계에서 -10을 얻으려면 +10의 2의 보수를 구하면 된다. 즉 00001010 의 2의 보수인 11110110 이 -10이 되는 것이다. 이러한 개념은 감산 하드웨어를 간략하게 하는데 매우 유용하다.


[표 3] 8비트 수의 2의 보수


따라서 8비트로 부호있는 정수는 -128 부터 +127까지 표현할 수 있다.


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c{am8},n{a8m0005}

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Posted by 살레시오

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