다항식 생성

 Scilab에서 다항식을 생성하는 함수는 poly() 이다. 예를 들면

위의 예에서 보듯이 poly()함수의 첫 번째 인자는 행벡터이고 두 번째 인자는 다항식 표기에 쓰이는 기호이고 세 번째 인자는 벡터의 요소가 계수(coefficients)인가 근(roots)인가를 지정하는 문자열이다. 세 번째 인자의 기본값은 ‘r’ 이므로 생략하면 이것으로 자동으로 지정된다.

다항식의 기호식(symbolic) 연산

 Scilab에서 특이한 것은 다항식으로 한 번 정의되면 그 변수는 일종의 기호식(symbolic equation)같이 취급되어 기호식 연산을 할 수 있다는 것이다. (아마 기본 연산자가 다르게 동작하도록  오버로딩 되어있는 듯하다.) 예를 들어서

위의 예에서 보듯이 s=x-1 이라는 다항식으로 s가 정의된 이후에는 사칙연산이 다항식에 대한 것으로 바뀌어서 적용이 된다. 변수 h 는 분수식으로 정의되었다.

 단순하게 x를 기호로 설정하려면 다음과 같이 하면 된다.

이후에는 변수 x는 다른 객체로 재설정 하지 않는다면 기호로 취급된다. 예를 들어서 분수식 x.(x2+x+1) 를 입력하고 싶다면 그대로 입력하면 된다.

이렇게 정의된 k 역시 기호식으로 취급된다.

 Scilab의 내부 변수 중에 %s와 %z (소문자이다)가 있는데 이것은 이미 기호식으로 미리 정의가 되어 있는 것이다. 즉 %s=poly(0,’s’), %z=poly(0,’z’) 와 같이 미리 정의 되어 있는 기호이다. Scilab자체가 제어 이론의 구현에서 출발했으므로 전달함수를 표기하는 두 변수 s (연속치 계통의 경우) 와 z (이산치 계통의 경우)를 미리 기호식으로 사용할 수 있도록 설정해 놓은 것으로 짐작된다. 이 두 기호 이외의 다른 기호를 사용하려면 일일이 poly()함수를 사용하여 지정해 주어야 한다.

다항식과 분수식에 관련된 함수들

 다음 표에 다항식과 분수식에 관련된 중요한 함수들과 그 기능을 정리하였다.

[표 1] 다항식 관련 함수들

예를 들어서 다항식 s3-1 을  인수분해하려면 다음과 같이 하면 된다.

또한 [1/z 1 1; 1 1 z; 1 z 1] 이라는 3x3행렬의 역행렬을 구하려면 다음과 같이 하면 된다.

부분분수 전개는 pfss 함수이다. 예를 들어서 분수식 3/(s3-1)을 부분분수전개하려면 다음과 같이 하면 된다.

 여기서는 이전 포스트에 이어서 다항식 관련 함수들에 대해서 알아보겠다. 두 다항식의 곱셈은 conv()함수에 의해서 구해진다. 두 함수 a(x)=x3+2x2+3x+4 와 b(x)=x3+4x2+9x+16의 곱을 구해보자.

이 결과로부터

c(x) = x6+6x5+20x4+50x3+75x2+84x+64

임을 알 수 있다.

 방정식간의 나눗셈은 deconv()함수를 이용한다. 앞에서 구한 방정식 c(x)와 b(x)를 이용하여 를 구하면 다음과 같다.

결과가 a(x)와 같음을 알 수 있다.

다항식의 미분을 계산하는 함수로 polyder()함수가 있다. 예를 들어 p(x)=x3-2x-5 의 미분함수를 계산하려고 한다면

여기서 p’(x)=3x2-2임을 알 수 있다. 만약 함수 polyder()로의 입력벡터가 두 개면 두 다항식의 곱의 미분을 구해준다.

여에서 a(x)=x2+3x+5와 b(x)=2x2+4x+6의 곱함수 a(x)b(x)을 미분한 결과는 8x3+30x2+56x+38 이라는 것을 알 수 있다. 마지막으로 입력도 두개이고 출력도 두개라면, 예를 들어서

와 같이 사용한다면 a(x)/b(x)를 미분한 결과를 q(x)/d(x)로 반환해 준다. 즉 다음과 같은 다항식

을 미분한 결과는 다음과 같다는 것을 알 수 있다.

 이제 역라플라스 변환이나 역z변환에서 자주 쓰이는 부분분수전개 (partial fraction expansion) 에 대해서 살펴보자. 부분분수 전개를 수행하는 함수는 residue()함수이다. 어떤 다항식 a(x)와 b(x)에 대해서 a(x)가 다중근을 갖지 않는다면 분수식은 다음과 같이 전개될 수 있다.

예를 들어서

를 부분분수전개한 결과를 보려면 다음과 같이 하면 된다.

이것으로 부터 다음을 알 수 있다.

다음과 같이 다중근을 가지는 경우를 살펴보자.

이 식을 부분분수전개를 하려면 예를 들어 다음과 같이 하면 된다.

이 예에서 분모항 을 입력하기 위해서 poly()함수를 사용다. 반환된 벡터 r2,p2 그리고 k2로부터 다음과 같은 결과로 해독한다.

여기서 p2벡터의 세 번째 요소인 두 번째 0.5 는 이중근임을 나타냄에 유의해야 한다.

 지금까지 소개한 다항식에 관련된 함수들을 표로 정리하면 다음과 같다.

[표 1] 다항식에 관련된 함수들 정리

 MATLAB은 다항식을 다루는 몇 개의 함수를 제공한다. 예를 들어 방정식의 근을 구한다던가, 어떤 다항식의 미분 혹은 적분을 구하는 함수등이 제공된다.

 예를 들어서 x4-12x3+25x+116 이라는 다항식은 다음과 같이 계수들을 순서대로 가지는 p라는 변수에 저장한다.

여기서 계수들을 입력할 때 다항식이 사실 x4-12x3+0x2+25x+116 이므로  x2항의 계수인 0도 반드시 써야 한다는 것에 주의하자. 이제 이 방정식의 근은 roots()함수를 이용하여 구할 수 있다.

위에서 보듯이 roots()함수는 해들은 열벡터에 저장하여 반환한다. 반대로 해로부터 방정식을 구할 수도 있다. 예를 들어 어떤 방정식의 해가 1,2,3,4,5 일 때 이들을 해로 가지는 방정식은 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 일 것이다. 이 방정식의 계수를 구하는 함수가 poly()함수이다.

위에서 1, 2, 3, 4, 5를 해로 가지는 방정식은 x5-15x4+85x3-225x2+274x-120 이라는 것을 알 수 있다. 처음 나왔던 예제에서 roots()함수를 이용하여 방정식의 근을 r에 저장하였다. 이것을 이용하여 원래의 방정식을 구할 수 있다.

입력변수가 nxn 크기의 행렬인 경우 poly()함수는 이 행렬의 특성방정식(characteristic equation)의 계수를 반환한다.

행렬의 특성방정식이란 det(xI-A) 를 말하며 위의 경우 이 특성방정식이 x3-3.95x2-1.85x-163.275 임을 알 수 있다. 이 특성방정식의 해가 바로 행렬의 고유치(eigenvalue)이다. 행렬의 고유치를 구하는 함수는 따로 마련되어 있으며 eig()함수이다.

특정한 값에서의 함수값을 구하는 함수는 polyval()함수이다. 예를 들어 x=5에서 p에 저장된 다항식 값을 구하려면

정방행렬에 대해서 다항식의 값을 구하는 것도 가능하다. 예를 들어서 q(x)=x3-2x-5 라는 함수가 있을때 행렬 A에 대해서 q(A)=A3-2A-5I 가 되는 것이다. 여기서 I는 항등행렬이다. 다항식에 대해서 행렬 계산을 구하는 함수가 polyvalm()함수이다.

위의 결과에 대해서 검산을 하면 다음과 같다.

여기서 eye(3)은 3x3 항등행렬을 생성해주는 함수이다.