MATLAB에서 행렬의 원소로 문자열을 사용하는 것이 가능하다. 문자열은 작은 따옴표나 큰따옴표로 묶는다.

두 번째 예를 보면 문자열은 그 자체로 행벡터임을 알 수 있다.. 벡터의 각 요소는 하나의 문자인 것이다. 따라서 행렬의 인덱싱도 가능하다.

따라서 다음과 같이 두 행렬을 한 행렬로 표현함으로써 문자열의 합성도 가능하다.

문자열 행렬도 생성 가능한데 문자열 자체가 행벡터이므로 한 행에 하나의 문자열을 지정해 주면 된다.

위의 예에서 행렬 D는 첫 번째 행의 크기는 2(문자)이고 두번째 행의 크기는 5(문자)인데 행렬이 구성되었다. 이경우 빈 곳은 공백문자로 채워진다.

 문자열 관련 함수들은 다음과 같다.

[표 1] 문자열 관련 함수들

 본 포스트에서는 각종 특수 행렬을 MATLAB 내부 함수를 이용하여 생성하는 방법을 알아본다. 앞으로 첨자로 쓰이는 m,n은 양의 정수를 표기한다. 이전에 소개되었던 특수한 행렬을 생성하는 함수들은 다음 표에 정리하였다.

[표 1] 이전에 소개되었던 특수 행렬을 반환하는 함수들 요약

이것들 이외의 함수들에 대해서 살펴보도록 하겠다.

영행렬과 일행렬

 MATLAB에서 다음 함수들은 특수한 행렬을 만들어낸다.

[표 2] ones()와 zeros() 함수

예를 들면 다음과 같다.

만약 다음과 같은 행렬 A를 만들고 싶다면

A=2*ones(2,3)이라고 명령을 내리면 된다.

항등행렬 (identity matrix)

 항등행렬은 eye(n) 함수로 만들 수 있다.

만약 다음과 같은 행렬 A를 만들고 싶다면

A=-eye(3)이라고 명령을 내리면 된다.

대각행렬 (diagonal matrix)

[표 3] diag() 함수의 기능과 용례들

 만약 x를 벡터라고 하면 명령문 diag(x)는 대각선상에 x를 갖는 대각행렬을 만든다.

다른 예를 들어  diag(ones(1,n)) 명령은 아래와 같은 n☓n 항등행렬을 생성한다.

 만약 A가 정방행렬이면 diag(A)는 A의 대각선 원소들로 생성되는 벡터이고, diag(diag(A))는 diag(A)의 원소를 대각선상에 갖는 대각 행렬이다. 아래의 명령을 살펴보자.

 다른 예를 더 살펴보자.

따라서 diag(1:5)-diag(0:4)는 다음과 같이 항등행렬이다.

마찬가지로 diag(3:7)-diag(2:6)의 결과도 항등행렬이다.

 일반적으로 diag(x,n)은 x원소을 n번째 대각선에 위치시킨다. n이 0이면 주대각선을 n>0이면 그 위의 대각선, n<0이면 그 밑의 대각선을 지정한다. 그리고 diag()함수의 반환 행렬은 항상 정방행렬이다.

따라서 두 번째 n이 생략되면 기본값으로 0이 사용된다는 것을 알 수 있다.

 MATLAB에서 어떤 행렬의 크기를 구하고자할 때 사용하는 함수가 size()함수와 length()함수이다.

출력 파라메터가 하나일 때는 size()함수는 행수와 열수를 요소로 하는 행벡터를 반환한다. 출력 파라메터가 두 개일 때는 다음과 같이 첫 번째 파라메터에는 행을 두 번째 파라메터는 열수를 담아서 반환한다.

만약 두 개의 입력 파라메터가 주어진다면 행수 혹은 열수를 반환한다. 다음 예제를 보면 이를 알 수 있다.

크기를 구하고자 하는 것이 벡터라면 length()함수를 이용하면 된다.

이 예에서 벡터 B는 315의 크기를 가지는 행벡터임을 알 수 있다.만약 length()함수의 입력 파라메터로 행렬이 들어간다면 행수와 열수 중에서 큰 값이 반환된다.

즉, length(A)함수는 max(size(A))명령과 동일한 일을 수행하게 된다.

 행렬의 원하는 부분을 치환하기 위해서는 치환하고자 하는 행렬의 원소에 값을 입력한다. 먼저 다음과 같이 행렬 A를 생성하자

이제 행렬 A에 대해서 다음 예제들과 같이 조작할 수 있다.

 아직 생성되지 않은 행렬의 특정한 요소에 값을 대입할 수 있다. 이때 지정되지 않은 원소는 모두 0 으로 출력된다. 예를 들어 아직 작업 공간에 D라는 변수가 없는 경우 다음과 같이 명령을 내리면,

와 같이 D가 새로 생성되고 (3,3)자리에 3이 대입되며 지정되지 않은 다른 자리에는 0으로 채워진다. 만약 이 상태에서 다음과 같이 추가적으로 명령을 내리면

지정되지 않은 위치의 요소들은 0으로 초기화되는 것을 알 수 있다.

 또 다른 예로서, C라는 행렬을 새로 생성시키는데, 두 번째 행을 [1 2 3]으로 하고 싶으면 다음과 같이 한다.

이때 지정되지 않은 첫 번째 행의 값은 0으로 초기화됨을 알 수 있다. 만약 A라는 행렬이 3X3 크기의 행렬로 작업공간에 존재한다면

는 보다시피 에러가 발생한다. 하지만 다음 명령어는 새로운 변수가 생성되는 것과 비슷한 규칙이 적용된다.

즉, 지정된 위치를 만들어 값을 대입하고 값이 없는 위치에는 0을 대입한다.

 여기에서는 이전 포스트에 이어서 행렬의 인덱싱에 대해서 설명하겠다. 행렬의 인덱스에 콜론(:) 연산자를 이용하여 여러 개의 행이나 열을 동시에 선택할 수도 있다.

위의 예에서 콜론 연산자가 단독으로 쓰이는 경우와는 다르다는 것을 알 수 있다. 여기에서 콜론 연산자는 이전 포스트에서 설명한 수열을 생성하는 연산자로서 행벡터를 생성한다. 즉 위의 명령은 다음과 완전히 동일하다.

다음 명령을 보자.

이 명령어의 행인덱스 1:3 와 열인덱스 : 에 똑같은 콜론(:)문자가 쓰였지만 전혀 다른 연산자이다. 앞에 콜론은 수열을 생성하는 연산자이고 뒤의 연산자는 인덱스로서 단독으로 쓰였기 때문에 ‘모두’의 의미를 갖는다. 즉, 둘 다 같은 명령이다.

 행렬의 마지막 요소를 지정하는 데에는 end연산자가 사용된다. 다음 예를 보자.

위에서는 f벡터의 끝 요소 만을 참조하려면 f(5)라고 하면 되지 않겠느냐고 생각할 수도 있으나 end연산자는 참조하려는 행렬의 크기를 모르는 경우 제일 끝의 행(또는 열)만을 지정하고 싶을 때 유용하다. MATLAB 프로그래밍을 하다 보면 참조하려는 행렬의 크기가 불확실한 경우가 자주 발생하게 된다. 다음의 예제도 잘 살펴보기 바란다.

위에서 magic(n)함수는 (n은 홀수) nxn 차원의 정방 행렬을 만드는데 생성된 행렬은 특정한 행(또는 열)의 모든 요소의 합이 일정하다. 대각선 방향의 합도 역시 같다. (자세한 설명은 help magic 명령으로 살펴볼 수 있다.)

 만일 어떤 행렬에서 특정한 행 또는 열을 없애려면 다음과 같이 하면 된다.

위에서 [ ] 명령은 공행렬(empty matrix)을 생성하는데 이는 크기가 0인 행렬을 뜻한다. 예를 들어 행렬 A에서 2행을 없앤 행렬을 B에 대입하려면 다음과 같이 하면 될 것이다.

공행렬과 영행렬(zero matrix)은 구별해야 하는데 공행렬은 크기가 0인 행렬을 의미하며 MATLAB에서는 ‘[]’로 생성한다. 영행렬은 행렬의 모든 요소가 0인 행렬을 의미하며 zeros()함수를 이용하면 생성할 수 있다.

 find(X)함수는 입력행렬 X의 요소 중 0이 아닌 것의 인덱스를 반환한다. 즉, 행렬의 0이 아닌 요소의 인덱스를 찾는 함수가 find()함수이다. (help find󰎠명령으로 확인해 보라.) 이 함수의 반환값은 하나, 둘 그리고 세 개가 될 수 있다.

위의 결과를 이해하려면 MATLAB에서 이차원 행렬의 요소들은 내부적으로 일차원 배열로 저장됨을 이해해야 한다. 그 일차원 배열의 0이 아닌 요소의 인덱스를 find()함수가 만약 출력변수가 한 개라면 반환하는 것이다. 위의 경우 행렬 X의 내부 인덱스를 도시하면 다음 그림과 같다.

[그림 2] X행렬의 내부 요소 인덱스

이 그림을 보면 앞의 예제에서 find()함수의 결과값이 이해가 갈 것이다.

 MATLAB에서 벡터의 원소를 참조하거나 벡터의 원하는 위치에 값을 설정하려고 할때는 아래와 같이 한다.

위에서 첫 번째 명령은 a벡터의 k번째 요소를 변수b에 저장하라는 것이고 두 번째 명령은 b변수값을 a벡터의 k번째 자리에 저장하라는 것이다. 여기서 a벡터는 행벡터이든 열벡터이든 동일하게 적용된다. 아래의 예를 보자

 행렬의 한 원소에 접근하여 원하는 위치에 값을 읽어오거나 바꿀려고 할 때는 아래와 같이 괄호 안에 행 수와 열 수를 콤마(,)로 구별하여 지정한다.

즉, 행렬 A의 k1행 k2열 원소를 참조하고자 할 때 A(k1,k2)로 입력한다.

만약 어떤 행이나 어떤 열의 모든 원소를 선택하고자 하면, 선택하고자 하는 해당 열이나 행을 지정할 때 콜론(:)을 단독으로 사용한다. 행렬의 지정자로 콜론(:)이 단독으로 쓰이면 ‘전부(all)’라는 의미를 갖는다. 다음 예를 보자.

여기서 A(1,:)는 ‘1행, 전체’를 가리키고 A(:,3)은 ‘3열,전체’를 가리킨다.

행이나 열의 특정한 부분만 선택하고자 하면 선택하고자 하는 해당 열이나 행를 벡터로 지정해주면 된다. 예를 들어

위에서 마지막 예제의 결과는 다음 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

[그림 1] 선이 겹치는 부분이 선택된다.

A행렬에서 지정한 행과 열이 겹치는 곳에 위치한 요소만 선택이 되어진다는 것을 [그림 1]을 보면 쉽게 이해할 수 있다. 즉 [그림 1]에서 1행과 3행에 가로선을 그리고 2열과 3열에 가로선을 그어보면 선들이 겹치는 부분만 선택되는 것이다.

 A([1 3], :) 명령어를 읽을 때 ‘A행렬의 1행 전체, 3행 전체’라고 읽으면 정확하고 결과값도 1행 밑에 3행이 위치한다. 그런데 다음 예제롤 하나 더 보고 넘어가자.

A([3 1], :)명령어와 그 결과를 보면 ‘3행 먼저, 그 다음 1행’순으로 인덱스 벡터에 써준 순서대로 요소를 뽑아낸다는 것을 알 수 있다. A(:, [3 2])도 마찬가지로 ‘3열 먼저. 그 옆에 2열’이라는 것을 알 수 있다.

 열벡터란 세로로 세워져 있는 모양의 벡터고, 행벡터는 가로로 길쭉한 벡터이다. 보통 그냥 벡터라고 하면 열벡터를 의미한다. 여기에서도 앞으로 열벡터는 그냥 벡터라고 지칭한다.

MATLAB 명령어창에서 nx1 행렬을 입력하면 열벡터를, 1,n 행렬을 입력하면 행벡터를 만들 수 있다.

행벡터 혹은 열벡터를 입력하거나, 생성시켜야 하는 경우에 각 벡터 요소들의 증가 혹은 감소분이 일정하다면, 각 요소들을 다 입력할 필요 없이 초기값, 최종값, 증감값으로 생성시킬 수 있다. 여기에서 사용되는 것이 콜론(:)연산자이다. 이 연산자는 여러모로 쓸모가 많으므로 잘 숙지해 두어야 한다. 입력형식은 아래와 같다.

이 명령은 초기값으로부터 최종값까지 증감값만큼 증감시킨 수열을 요소로 갖는 행벡터를 생성하여 변수에 저장하게 된다. (행벡터를 생성한다는데 주의하자!) 예를 들어, 변수이름 a로 1부터 10까지 1의 간격으로 행벡터를 만들고자 한다면 다음과 같이 입력하여 실행한다.

증가분이 1이라면 증감값을 생략할 수 있다. 즉 위의 명령은 다음과 같다.

즉, 증감값이 생략된 다음과 같은 형태라면

증감값은 1이라는 것을 의미하며 초기값부터 최종값까지 1씩 증가시켜서 행벡터를 만든다.

 만약 8부터 2까지 2씩 감소하는 간격으로 열벡터를 만들고자 한다면 다음과 같이 입력하여 실행한다.

전술한 바와 같이 콜론 연산자를 사용하면 기본적으로 행벡터가 생성되므로 열벡터를 얻기 위해서는 ‘전체’ 벡터의 전치를 취해야 한다. 다음과 같이 입력하면 어떻게 되는지 한번 수행해 보자.

여기에서 2’은 2와 같다. MATLAB에서 전치 연산자(‘)와 콜론(:) 연산자 중에서 전치 연산자의 우선 순위가 더 높으므로 위 명령은 a=8:-2:2 와 동일한 동작을 수행한다.

 여기에서는 이전 포스트에 이어서 기본적인 행렬 생성의 기본적인 내용을 설명하겠다. 행렬 X가 다음과 같이 복소행렬(행렬의 요소 중 하나 이상이 복소수인 행렬)이라고 하자.

아래와 같이 입력하면 화면에 행렬 X가 나타난다. j 대신 i가 쓰일 수도 있다.

위와 같이 MATLAB에서 허수를 나타내기 위해서 ‘i’ 혹은 ‘j'를 사용한다. 그러므로 변수 이름으로 ‘i’와 ‘j'를 사용하지 않아야 한다.

수식 입력의 편의를 위해서 복소수를 입력할 때에는 위에서와 같이 ‘3i’를 입력해도 가능하다. 그러나 i 가 허수단위가 아닐 때에는 불가능하며 앞에서도 설명한 바 있듯이 'i3'으로 입력하면 안된다는 것이 유의하자. i3은 변수명으로 해석하기 때문이다.

 만약 ‘i’를 행렬 이름으로 (즉, 변수로) 사용했을 때는 그 행렬이 존재하는 한 ‘i’는 행렬 이름이며 허수가 아니다.

‘i’를 다음과 같이 지우면 다시 허수로 사용할 수 있다.

여기서 clear 명령어는 그 뒤에 오는 변수를 메모리에서 지우는 일을 수행한다. 만약  ‘i’가 행렬 변수로 사용되고 있을 때는 ‘sqrt(-1)’을 이용하여 허수를 만들 수 있다.

하지만 ‘i’ 나 ‘j’는 MATLAB에서는 일종의 예약어(keyword)이므로 변수명으로 사용하는 것은 피하는 것이 바람직하다.

 MATLAB에서 복소수를 취급하는 기본적인 함수들은 다음 표와 같다.

[표 1] 복소수 관련 내장 함수들

 만약 각도의 결과를 라디안에서 도(degree)로 바꾸고 싶다면 angle()함수의 결과값에 360/2π 를 곱하면 된다.

 복소행렬의 전치를 구할 때는 약간의 주의가 필요하다. 복소전치행렬(complex conjugate transpose)을 구할 수도 있고 그냥 전치행렬을 구할 수도 있다. 복소전치행렬은 각 행렬 요소들의 공액 복소수(complex conjugate, 허수부의 부호만 바뀐 복소수)를 구한 다음 전치를 하는 것이다. 이전 포스트에서 설명한 (‘)연산자가 실은 복소전치행렬을 구하는 연산자이다. 다음 예에서 이것을 확인할 수 있다.

이와 다르게 행렬의 복소수 요소의 공액복소수를 취하지 않고 단순히 비대각요소의 위치만 전치하고 싶다면 (.‘)연산자를 사용한다.

 두  전치연산자 (‘)와 (.’)의 차이에 주의해야 한다.

 여기에서는 이전 포스트에 이어서 기본적인 행렬 생성의 기본적인 내용을 설명하겠다.

함수의 행렬

 행렬을 입력하는 또 다른 예로, 아래와 같이 주어진 행렬 C를 생각해보자.

위 행렬은 다음과 같이 입력될 수 있다.

여기서 exp(x)함수는 ex 값(exponetial)을 구하는 함수이고, sqrt(x)함수는 제곱근(square root)을 구하는 함수이다. exp(x)함수나 sqrt(x)함수의 용법이 궁금하다면 help 명령어를 사용하면 된다. help exp 명령을 내리면 exp()함수에 대한 기본 설명, 유사한 함수들 그리고 오버로드(overload)된 함수들에 대한 설명이 나오는 것을 알 수 있다. 유사한 함수들의 목록에 expm()함수가 있는데 함수명 끝의 m은 이 함수가 행렬연산을 한다는 것을 나타내며 스칼라 연산 함수들은 보통 대응하는 행렬 연산 함수를 가지고 있다.

[그림 1] Octave 4.0에서 help exp 명령을 수행한 결과

전치 행렬 (transpose)

 어떤 행렬의 전치행렬(transpose)을 만드는 방법은 행렬의 끝에 작은따옴표 (‘)를 붙이는 것이다. 예를 들어서 C행렬의 전치행렬을 만들어 D에 입력하고 싶다면 다음과 같이 한다.

어떤 행렬의 대각 요소(diagonal element)란 행 인덱스와 열 인덱스가 같은 요소를 그리고 비대각요소(off-diagonal element)는 같지 않은 요소를 의미한다. 위의 예에서 행렬 C의 비대각요소의 위치가 대칭적으로 바뀌어서 D에 저장되었음을 알 수 있다.

 또는 행렬을 입력할 때 마지막에 (‘)을 추가하면 입력되는 행렬의 전치행렬이 바로 구해진다.

이와 같이 전치 행렬은 행렬의 끝에 작은 따옴표로 쉽게 구해진다.

 MATLAB은 수치해석(numerical analysis)을 수행하는 대표적인 프로그램이다. 원래 MATLAB은 Cleve Moler에 의해 처음에는 Fortran으로 작성되어 DOS상에서 구동 가능한 소규모 수치해석 프로그램으로 출발하였으나, 현재는 미국의 MathWorks사에 의해 java virtual machine 위에서 구동되는 (따라서 대부분의 OS를 지원한다.) 대규모 패키지 프로그램으로 발전하였다.

 MATLAB은 수치 해석에 특화된 언어 문법을 가지고 있으며 친숙한 수학적인 기호와 간단한 문법으로 복잡한 계산을 수행할 수 있다. 전형적인 이용 범위는 다음과 같다.

• 수학과 관련된 계산

• 알고리즘 개발

• 상황 모델링과 data분석

• 여러 가지 과학과 공학적인 그래픽적 표현

• GUI(Graphical User Interface)에 의한 에플리케이션 개발

 현재 MATLAB은 학계나 연구소등에서 광범위하게 사용되고 있으며 사실상 수치해석툴의 표준으로 자리잡고 있다. 이 프로그램은 범용으로 사용되는 프로그램언어인 C나 C++과는 달리 전문적으로 수치 계산을 하기 위한 프로그램이다.

 간단한 예로 행렬의 곱셈을 들어 보자. 두 개의 행렬을 곱셈하는 프로그램을 C언어로 작성하려고 한다면 2차원 배열을 두 개 잡아서 두 행렬을 각각 저장한 후 반복문 (for 나 while 같은 반복문 명령)을 중첩해서 사용해야 계산 결과를 얻어낼 수 있다. 계산결과를 화면에 출력하거나 파일로 저장하는 추가적인 루틴도 작성해야 한다.

하지만 MATLAB에서는 간단하게 한 줄의 명령으로 이를 수행할 수 있다.

또한 미분방정식의 해나 적분등도 쉽게 계산할 수 있으며 그 결과를 그래픽으로 보여주는 기능 또한 다양하다. 이러한 수학 계산들을 C 혹은 C++이나 다른 범용 프로그래밍 언어로 구현하려고 한다면 고려해야할 사항이 한두 가지가 아닐 것이다.

 이처럼 MATLAB은 강력한 수학적인 능력을 갖고 있고 다양한 분야에 특화된 여러 toolbox(일종의 라이브러리임)를 갖추고 있으며 simulink라는 비쥬얼 모의 실험 환경과 같은 특수한 툴들을 갖추고 있다. 이러한 장점들에 의해서 수치 해석 툴의 강자로 자리매김하고 있다.