심파이에서 행렬객체에 수행할 수 있는 선형대수 관련 연산을 다음 표에 정리하엿다.


[표 1] 선형대수 연산

연산

기능

A.T

A.H

A.D

전치행렬(transposition)

복소전치행렬(hermite conjugation)

Dirac transposition

A.rank()

행렬의 랭크(rank)

A.det()

행렬식 (determinant)

A.inv()

역행렬 (inverse matrix)

A.LUsolve(b)

행렬방정식 Ax=b 를 푼다.

A.norm()

norm을 구한다.

A.eigenvals(**flags)

A.eigenvects(**flag)

행렬의 고유값을 구한다.

행렬의 고유값과 고유벡터를 구한다.

A.evalf()

행렬 각 요소의 실수 근사값을 구한다.

A.applyfunc(f)

행렬 각 요소에 함수 f를 적용한다.


숫자로만 이루어진 행렬뿐만 아니라 대수 기호가 포함된 행렬에 대한 연산도 수행 가능하다.


>>> x=symbols('x') # x 를 기호로 설정
>>> C=Matrix([[x,2],[1,x]])
>>> D=ones(2)*x

>>> C
[x  2]
[1  x]

>>> D
[x  x]
[x  x]

>>> C.det()
2    
x  - 2

>>> C*D
[  2             2   ]
[x  + 2*x  x  + 2*x  ]
[   2           2    ]
[ x  + x    x  + x   ]


만약 대수 기호 대신에 숫자를 입력하고 싶다면 subs() 메쏘드를 이용한다.


>>> C.subs(x,11)
[11  2 ]
[1   11]

>>> y=symbols('y')

>>> D.subs(x,y**2+1)
[ 2       2    ]
[y  + 1  y  + 1]
[ 2       2    ]
[y  + 1  y  + 1]

>>> D.subs(x,sqrt(y))
[  ___    ___     ]
[\/ y     \/ y    ]
[  ___    ___     ]
[\/ y     \/ y    ]




Posted by 살레시오

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  1. 오타 제보합니다. 2017.11.27 01:46  댓글주소  수정/삭제  댓글쓰기

    A.eigenvecs(**flag)
    이 부분
    A.eigenvects(**flag)
    오타났어요!

 행렬 간 산술 연산은 +, -, *, ** 연산자로 수행할 수 있다. *은 행렬 간 곱셈을, **은 거듭제곱을 수행한다.


[표 1] 행렬의 기본 연산

연산

기능

A+B, A-B

행렬간 덧셈, 뺄셈

A*B

행렬간 곱셈 (A의 열 수와 B의 행 수가 같아야 한다.0

A**k

행렬 A의 k 거듭 제곱

v1.dot(v2)

벡터 v1과 v2의 내적(dot product)


덧셈과 곱셈은 두 행렬의 크기가 같아야 하고 행렬 간 곱셈은 차수 조건에 맞아야 한다. 즉, 첫 번째 행렬의 열 수와 두 번재 행렬의 행 수가 같아야 곱셈이 성립한다.


>>> A=randMatrix(3,4)
>>> B=randMatrix(4,2)

>>> A
[2   48  28  60]
[2   9   18  88]
[79  14  17  25]

>>> B
[10  49]
[47  95]
[18  67]
[60  59]

>>> A*B   
[6380  10074]
[6047  7351 ]
[3254  7815 ]

>>> B*A # 오류발생


 파이썬에서 **가 거듭제곱 연산자이므로 심파이에서도 행렬의 거듭제곱은 ** 연산자로 수행한다. 거듭제곱을 수행하려면 행렬이 정방행렬이어야 한다.


>>>  A=Matrix([[1,2],[2,3]])
⎡1  2⎤
⎣2  3⎦

>>> A**10
⎡514229  832040 ⎤
⎣832040  1346269⎦



Posted by 살레시오

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  행렬 객체에 대해서 파이썬 인덱싱과 슬라이싱도 사용할 수 있다. 주의할 점은 수학의 행렬은 1행, 1열부터 시작하지만 Matrix객체는 인덱스가 0으로 부터 시작한다는 점이다. 따라서 첫 번째 행(열)의 인덱스는 0이고 두 번째 행(열)의 인덱스는 1이다.


>>> M = Matrix(2, 3, [1,2,3,4,5,6])
>>> M
[1 2 3]
[4 5 6]

>>> M[4] # 5
>>> M[1,2] # 6
>>> M[0,0] # 1
>>> M[1,1] # 5

>>> M[0:2, 0:2] # 2x2 부분 행렬
>>> M[1:2, 2]
>>> M[:,2] # 3열 전체


특정한 행이나 열을 뽑아내고 싶다면 row(n), col(n) 멤버 함수를 이용한다.


>>> M.row(0)
>>> M.col(2)
>>> M.row(-1) # 마지막 행을 뽑아낸다.


행렬 M의 복사본을 생성하고 싶다면 다음과 같이 하면 된다.


>>> M2 = M[:,:]
>>> M2[0,0]=100
>>> M


이와 같이 M2를 변경해도 M에는 영향을 미치지 않는다.


>>> M = Matrix(4,4,range(1,17))
⎡1   2   3   4 ⎤
⎢5   6   7   8 ⎥
⎢9   10  11  12⎥
⎣13  14  15  16⎦

>>> M[2,2] = M[0,3] = 0
>>> M
⎡1   2   3   0 ⎤
⎢5   6   7   8 ⎥
⎢9   10  0   12⎥
⎣13  14  15  16⎦

>>> M[2:, 2:] = zeros(2,2)
>>> M
⎡1   2   3  4⎤
⎢5   6   7  8⎥
⎢9   10  0  0⎥
⎣13  14  0  0⎦


행렬의 특정 행이나 열을 삭제하고 싶을 경우는 row_del(), col_del() 멤버함수를 이용하면 된다.


>>> M.row_del(0) # 첫 번째 행을 삭제한다.
>>> M.col_del(1) # 첫 번째 열을 삭제한다.


반대로 특정한 행이나 열을 끼워 넣고 싶다면 row_insert(n), col_insert(n) 을 이용한다. 이 경우 기존 행렬의 요소들을 밀어내고 그 위치에 입력한 행이나 열을 끼워 넣게 된다.


 그리고 A.row_join(B) 는 A행렬의 오른편에 B행렬을 병합시키고 A.col_join(B)는 A행렬의 하단에 B행렬을 병합시킨다.


>>> A=eye(3)
>>> A
⎡1  0  0⎤
⎢0  1  0⎥
⎣0  0  1⎦

>>> B=Matrix(3,2,range(11,17))
>>> B
⎡11  12⎤
⎢13  14⎥
⎣15  16⎦

>>> A.row_join(B)
⎡1  0  0  11  12⎤
⎢0  1  0  13  14⎥
⎣0  0  1  15  16⎦

>>> A.col_join(B.T)
⎡1   0   0 ⎤
⎢0   1   0 ⎥
⎢0   0   1 ⎥
⎢11  13  15⎥
⎣12  14  16⎦


또한 행렬객체의 메쏘드 중에 extract()라는 함수가 있다. 이것을 이용해서 원하는 부분을 뽑아낼 수 있다.


>>> A.extract(rowsList, colsList)


예를 들면 다음과 같다.


>>> M=Matrix(4,3,range(12))
>>> M
⎡0  1   2 ⎤
⎢3  4   5 ⎥
⎢6  7   8 ⎥
⎣9  10  11⎦

>>> M.extract([0,1,3],[0,1])
⎡0  1 ⎤
⎢3  4 ⎥
⎣9  10⎦


이 예를 보면 [0행, 1행, 3행] 과 [0열, 1열]이 겹치는 부부만 뽑아져 나온 것을 알 수 있다. 해당 행과 열에 선을 그어서 선이 겹치는 부분을 확인해 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.



Posted by 살레시오

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 심파이(sympy)의 행렬 객체는  Matrix이다. 이 Matrix 객체를 생성할 때는 리스트를 넘겨주면 된다. 넘겨준 리스트의 각 요소는 행렬의 행이 된다. 기본적인 사용 예는 다음과 같다.


>>> Matrix([[1,0],[0,1]]) #[1,0]이 1행, [0,1]이 2행이 된다.
>>> Matrix([[11, 22, 33]]) # 리스트의 첫 번째 요소인 [11,22,33]이 1행이 된다.
>>> Matrix([11, 22, 33]) # 11이 1행, 22가 2행, 33이 3행이 된다.


다른 방법으로 행의 개수와 열의 개수를 명시적으로 지정해 주는 방법이 있다.


>>> A = Matrix(2, 3, [1,2,3,4,5,6])
⎡1  2  3⎤
⎣4  5  6⎦

>>> B = Matrix(4, 4, range(16))
⎡0   1   2   3 ⎤
⎢4   5   6   7 ⎥
⎢8   9   10  11⎥
⎣12  13  14  15⎦


행 요소와 열 요소의 관계를 파이썬 함수로 작성하여 이것을 사용할 수도 있다.


>>> def f(i,j):
 if i==j : return 1
 else : return 0

>>> Matrix(4,4,f)
⎡1  0  0  0⎤
⎢0  1  0  0⎥
⎢0  0  1  0⎥
⎣0  0  0  1⎦


명시적 함수뿐만 아니라 익명 함수도 사용할 수도 있다.


>>> Matrix(3, 4, lambda i,j:1-(i+j)%2)
⎡1  0  1  0⎤
⎢0  1  0  1⎥
⎣1  0  1  0⎦


특수한 행렬을 생성하는 함수도 있다. eye() 함수는 항등 행렬을 생성하며, zeros() 는 영행렬을 그리고 ones()는 일행렬을 만들어 준다.


>>> eye(4)
>>> zeros(2)
>>> ones(3)
>>> ones(1,3)


대각행렬을 생성하는 diag() 함수도 있다. 스칼라나 행렬을 인수로 주면 그것들로 대각행렬을 생성한다.


>>> diag(1,2,3)
>>> diag(-1, ones(2,2), Matrix([5,7,6]))


스칼라는 1x1 행렬로 간주되며 주어진 행렬들을 대각 위치에 놓는다.


 난수 행렬을 발생시킬 수도 있으며 randMatrix() 함수를 이용한다.


>>> randMatrix(4) # 4x4 행렬 생성
>>> randMatrix(3,4) # 3x4 행렬 생성
>>> randMatrix(5, symmetric = True) # 5x5의 대칭행렬 생성


이 행렬의 요소는 100이하의 양의 정수로 채워진다.


[표 1] 행렬 객체의 생성 용례들

용법

내용

Martix(list)

Matrix([list1, list2,...])

Matrix(r, c, seq)

Matrix(r, c, func)

열벡터 생성

행렬 생성

seq를 이용하여 r x c 행렬 생성

함수를 이용하여 r x c 행렬 생성

eye(n)

n x n 단위행렬

zeros(n)

zeros(r, c)

n x n 영행렬

r x c 영행렬

ones(n)

ones(r, c)

n x n 일행렬

r x c 일행렬

diag(arg1, arg2, ...)

args 요소들의 단위행렬 생성

randMatrix(n)

randMatrix(r, c)

n x n 난수행렬 (대칭행렬은 symmetric=True 옵션을 지정)

r x c 난수행렬


 한 가지 주지할 사항은 Matrix 객체는 mutable 하다는 것이다. 따라서 immutability 가 필요한 곳(예를 들어 딕셔너리의 키)에는 사용할 수 없다. immutable행렬이 필요하다면 ImmutableMatrix 를 이용하면 된다.




Posted by 살레시오

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