맥시마는 반복 수행을 위한 명령어 for 가 있다. 문법은 다음 표에 정리한 바와 같다.


[표 1] for반복문의 문법


생략 가능

(기본값은 1)

다음 중 택일

(반드시 하나는 있어야 함>


for <변수>:<초기값>

step <증감값>

thru <끝값>

do <수행문>



while <조건식>



unless <조건식>


for <변수> in <list>

do <수행문>


먼저 반복문에서 사용할 변수를 초기화 시켜야 한다. 그 다음에 증감값을 step명령 다음에 지정해 준다. 이 증감값은 생략가능하며 이 경우 기본값인 1로 지정된다.


가장 기본적인 사용법의 예는 다음과 같다. (display함수는 단순히 변수의 값을 화면에 출력하는 함수임)

만약 1부터 100까지의 합을 구하고 싶다면 다음과 같다.

증감값을 정하고 싶다면 step 명령어를 다음과 같이 이용한다.

for문을 이용하여 x5+x4+x3+x2+x+1을 생성하면 다음과 같다.

같은 명령을 thru 대신 while을 이용하면 다음과 같다.


또 다른 예로서 리스트 [0, 1, 2, 3, … , 29, 30]를 생성하려면 다음과 같이 하면 된다. 다음 명령을 입력한 후에 그 결과를 확인해 보자. (/*~*/사이의 주석문은 입력할 필요가 없다.)


똑같은 명령을 unless를 이용하여 작성하면 다음과 같다.

이러한 for문을 이용하여 다양한 반복 작업과 많은 요소를 갖는 객체(리스트나 다항식 등)를 생성할 수 있다.





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 이전 포스트들에서 설명한 계산식, 변수 대입, 수식 등등이 모두 Maxima의 표현식(expression)이다. 표현식은 그 자체로서 객체를 이루며 또는 정해진 동작을 수행하여 결과 값을 반환해 주기도 한다.



위의 두 예는 동일한 동작을 수행한다. 먼저 x에 2+i 라는 복소수를 대입한 후 그 값을 다시 a변수에 저장한다. 맥시마에서는 표현식을 괄호 ( )로 묶을 수 있으며 단일 표현식에서는 보통 괄호를 생략한다. 따라서 (x:2+%i)는 하나의 표현식이며 그 값은 2+i 라는 값을 가진다. 표현식이 값을 가지는 것이다. 따라서 a변수에 (x:2+%i)의 값인 2+i 가 대입되게 되는 것이다.



표현식이 하나라면 보통 괄호를 생략하지만 여러 개의 표현식을 묶을 때는 괄호를 사용하고 각각의 표현식은 콤마(,)로 구분한다.



위의 예를 보면 첫 번째 줄에서 네 개의 표현식이 괄호로 묶여있다. 이 명령을 내리면 각각의 표현식이 하나씩 실행이 된다. 즉 a변수에 cos2(x)+sin(x)수식이 입력되고 b변수에는 3/sqrt(2)값이, 변수 c에는 3값이 저장된다. 그런데 결과를 보면 (%o1) 3이 나온다. 즉 (...) 안의 표현식은 몇 개가 되었든지 하나의 값을 가지는데 제일 마지막 표현식의 값을 가지며 그 결과가 찍혔다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 대입이 가능하다.



위의 예를 보면 x:( ... ) 명령어에서 ( ) 안에 두개의 표현식이 있다. 각각은 실행되며 전체 표현식의 값은 마지막 표현식의 값이 되므로 그 값이 변수 x에 저장된다. 따라서 이 예제를 실행시키면 변수 a, b, x 세 개에 각각 값이 저장된다.



  이제 아래 예들의 동작을 구분해 보자.



첫 번째 예는 세 개의 표현식 각각을 독립적으로 실행시킨 것이다. 따라서 그 결과 값도 각각 독립적으로 저장된다. (%o1, %o2, %o3) 두 번째 예는 첫 번째 것과 동작은 똑같지만 결과값은 하나만 생성된다.(%o4) 괄호로 묶여서 전체가 하나의 표현식이고 그 값은 마지막 표현식의 그것이기 때문이다.




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 리스트(list)는 맥시마의 기본 자료형 중 하나로서 다양한 표현식을 하나의 집합으로 묶어놓은 것이다. 기본적인 정의는 대괄호 [ ] 를 이용하며 각각의 요소는 콤마(,)로 구분한다. (공백 문자가 아님에 주의하자.)



위의 예는 lsA라는 변수에 리스트 [1, 2, 7, x+y]를 대입한 것이다. 리스트명은 임의의 식별자가 될 수 있다. 만약 x나 y가 어떤 값을 갖는 변수라면 그 값이 대신 들어간다. 그렇지 않다면 그냥 문자 상수로 인식된다.


 리스트 내부의 하나의 요소를 참조할 때에는 리스트명 뒤에 역시 대괄호를 이용하여 인덱스를 지정한다.



리스트의 요소로는 표현식(상수, 변수, 수학 함수 등등)과 리스트 자체도 리스트의 요소가 될 수 있다. 다음 예를 보자.



lsA는 네 개의 요소를 갖는 리스트인데 네 번째 요소는 리스트이다. 따라서 lsA[4]는 리스트 [a,b,c]인 것이다. 리스트 안의 리스트를 인덱싱하기 위해서는 위의 마지막 예와 같이 하면 된다.


 만약 값을 가진 변수를 이용하여 리스트를 정의한 후에 사용된 변수의 값을 바꾸면 어떻게 될까? 변경된 값이 리스트에 영향을 미칠까? 다음 예를 살펴보자.



만약 위와 같이 변수 a, b값을 이용하여 lsA를 정의했다면 정의된 그 시점의 a, b값이 lsA에 사용되는 것이지 변수 a, b 자체를 사용한 것은 아니다. 따라서 이후에 변수 a, b값을 바꾸는 것은 lsA에 아무런 영향을 미치지 않는다는 사실에 유의해야 한다.



그리고 리스트와 스칼라와의 산술 연산은 리스트 내의 모든 요소에 적용된다.



그리고 리스트끼리의 산술연산은 크기가 똑같아야 성립된다.



 리스트를 다루는 여러 함수 중에 많이 사용되는 몇 개만 소개하면 다음과 같다. 먼저 append() 함수는 두개의 리스트를 입력받아서 그 두개를 붙인 리스트를 생성한다.



리스트의 크기를 구하는 함수로서 length() 함수가 있다.



그리고 첫 번째 요소와 마지막 요소를 반환하는 함수는 각각 first(), last() 함수이다.



[표 1] 리스트 관련 함수 정리

기호

의미

append(lsA, lsB)

lsA와 lsB를 붙여서 새로운 리스트 생성

length(lsA)

lsA의 요소의 개수를 반환

first(lsA)

lsA의 첫 번째 요소

last(lsA)

lsA의 마지막 요소




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 맥시마를 처음 시작할 때 잘못 쓰기 쉬운 기호 중 하나가 바로 =이다. 보통 다른 프로그래밍 언어에서는 대입 연산자(우항 값을 좌항에 저장하는)로 사용되므로 이것에 익숙해서 여기에서도 당연히 대입 연산자일거라고 생각하기 때문이다. 그런데 맥시마의 대입 연산자는 : , :=, :: , ::= 이 네 가지이다.


맥시마에서 =는

① 등식(eqation)을 만들거나

② ‘같다’를 판변하는 비교 연산자로 사용되는 기호이다.


아래 예를 보자


첫 번째에서 x=2라고 입력하면 변수 x에 2를 입력한 것이 아니다. 그냥 (x=2)라는 등식을 입력한 것이다. 두 번째 예에서는 변수 a에 (x=2)라는 등식 자체를 입력한 것이다. Maxima에서 변수는 상수뿐만 아니라 뒤에 나오겠지만 표현식(expression)도 저장할 수 있다. 아래의 예는 변수 b에 x2-2x+1=0 이라는 방정식 자체를 입력한 것이다.


그리고 ‘=’기호는 조건 검사문 if 문과 뒤에오는 조건식에서 ‘같다’를 판별하는 논리 연산자로 쓰인다.

위에서 if 문 뒤의 (x = %pi) 에서 =는 변수 x값이 π와 같은지를 검사하는 비교 연산자이다. 이 논리식이 참이기 때문에 변수 a에 1값이 대입되었다.

 비교 연산자로 쓰이는 <, >, <=, >=도 비교 연산자 뿐만 아니라 부등식(inequality)를 만드는 데에 사용된다.

위의 첫 번째 입력은 c라는 변수에 2y+1<0 이라는 부등식을 대입한 것이다. 두 번째 입력에서 (d>2)는 if문 뒤의 조건식이다. 이것이 참이므로 e변수에 true값이 저장된다.



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 식별자(identifier)라는 것은 이름을 말하는데 이 식별자를 변수나 함수의 이름으로 사용할 수 있다. Maxima에서 식별자를 만드는 데 사용될 수 있는 구성 요소는 아래와 같다.

  • 알파벳 대소문자 (A~Z, a~z)

  • 숫자 (0~9)

  • _ (under bar)

  • %

  • \(백슬래쉬)+(특수문자)

 다른 프로그래밍 언어와 달리 맥시마는 식별자를 만들 때 %나 \#, \$와 같은 특수문자 조합도 사용할 수 있다. 또한 식별자를 만들 때 주의할 점은 숫자로 시작하면 안 된다는 것이며 대소문자를 구별한다는 것이다. 올바른 식별자의 예는 다음과 같다.

mA, aa, AA, lstB, _abc, %number, \@myVar, is_this_\#var

 변수에 어떤 수치 값을 대입하려면 콜론(:)을 사용하며 등호(=)가 아님에 유의해야 한다. 처음에 wxMaxima를 사용하기 시작할 때 가장 하기 쉬운 실수 중에 하나가 바로 변수 값을 대입할 때 콜론(:)대신 등호(=)를 사용하는 것이다.



이제 입력과 출력 앞에 붙은 (%i53), (%o60)와 같은 표시를 주의 깊게 살펴보면 이것들이 식별자라는 것을 알 수 있다. 맥시마에서 새로운 명령을 입력하거나 결과가 산출될 때 그것들은 이 변수에 자동으로 저장이 된다. 따라서 차후에 이 변수를 가지고 과거의 입력이나 출력을 참조할 수 있으며 그것들도 일반 변수와 같이 사용할 수 있다.


 기호 _ 는 바로 직전의 입력, %는 바로 직전의 출력이다. 다음 예를 따라서 해보고 결과를 확인해 보자.



그리고 현재 정의된 모든 변수를 확인하려면 values 라는 명령어를 입력하면 된다. 특정한 변수를 삭제하려면 kill() 함수를, 정의된 모든 변수를 제거하려면 kill(all) 명령을 내리면 된다.



 변수명으로 써서는 안 되는 예약어들은 다음과 같은 것들이 있다. (매뉴얼 pp.87)


if, then, else, elseif, and, or, unless,
integrate, next, from, diff, in, at, limit, sum, for, do,
product, while, thru, step



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  클래스나 메소드 혹은 변수를 선언할 때 final 제어자가 붙을 수 있는데 각각 다음과 같은 제한이 생기게 된다.


[표 1] final 제어자의 효과

대상

제한

클래스

다른 클래스에서 상속을 하지 못 한다.

메소드

상속 받은 클래스에서 오버라이딩 하지 못한다.

클래스 변수

선언과 동시에 값을 지정하여야하며 이후 수정이 불가하다.

인스턴스 변수

선언과 동시에 초기화하거나 생성자 내에서 값을 지정할 수 있다. 이후에는 수정이 불가하다.

지역 변수

선언과 동시에 초기화하거나 그 이후에 값을 지정할 수 있다. 이후에는 수정이 불가하다.


예를 들어보자 .


final class CA {

   private static final int ia = 11;
   private final int ib = 22;
   private final int ic;

   public CA() {
       ic = 22;
   }

   public final void func() {
       final int id = 22;
       final int ie;
       System.out.println(id);
       ie = 22;
       //이후에 id는 수정 불가
   }

}

클래스 CA는 파이널 클래스이므로 이것을 상속 받아서 파생클래스를 만들지 못한다. 그리고 func()메소드는 final이므로 상속 받은 클래스에서 오버라이딩하지 못한다. (이 경우는 클래스 자체가 final이므로 별 의미가 없으나 일반 클래스의 final 메소드는 자식 클래스가 오버라이딩하지 못한다.) 많이 사용되는 String 클래스나 Math클래스도 final클래스이므로 이것을 상속받아 새로운 클래스를 파생시키지 못한다.


 그리고 final 정적 변수 ia는 반드시 선언하면서 그 값을 지정해 주어야 하며 다른 곳에서 초기화하지 못한다. 하지만 final 인스턴스 변수(위 예에서 ib와 ic)는 선언부에서 값을 지정하거나 생성자에서 값을 지정해 줄 수도 있으며 이후에 값을 변경하지 못하다는 점은 동일하다. 이 점을 이용해서 final 멤버 변수가 인스턴스마다 서로 다른 값을 가지도록 할 수 있다.


 func()메소드의 id, ie와 같이 메소드 내부의 final 변수는 메소드가 실행되면서 생성되고 메소드가 종료되면 소멸되는 것은 일반 변수와 같지만 한 번 초기화되면 그 이후에는 값을 변경할 수 없다. 지역 변수는 인스턴스 변수와 유사하게 선언하면서 값을 지정할 수도 있고 선언한 후에 별도로 초기화할 수도 있다. 따라서 이 점을 이용하면 메소드가 호출될 때마다 final 지역 변수가 다른 값을 가지도록 할 수 있다.


 만약 어떤 클래스의 인스턴스가 final로 생성되었다고 가정하자.


final ClassA ca = new ClassA();

ca는 클래스의 인스턴스로서 내부적으로는  참조값(주소)을 갖는 변수인데 final로 제한되면 한 번 참조가 생성된  이후에는 새로운 참조값을 가지지 못한다.


final ClassA ca = new ClassA();

….

….

ca = new ClassA(); //에러 발생


따라서 위와 같이 다른 곳에서 ClassA()의 새로운 인스턴스(참조값)를 대입하려고 하면 에러를 발생시킨다.



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 비주얼 스튜디오 (Visual Studio, 이하 VS) 는 마이크로소프트(MS) 사의 대표적인 개발툴이다. MS가 2000년대 초반에 .NET framework을 발표하면서 비주얼 베이직, 비쥬얼 C++ 등과 같은 기존의 프로그래밍 언어 외에 C#이라는 새로운 언어를 발표했는데 이것이 .NET의 핵심 언어로서 현재는 버젼이 4.x이다. 이름에서 유추할 수 있듯이 C#은 C/C++에 뿌리를 둔 객체 지향 언어인데 C++과 JAVA의 장점을 계승한 최신의 개념이 들어간 언어이다. 실제 사용해 보면 JAVA보다도 더 편리한 문법과 무엇보다도 비주얼 스튜디오라는 최고의 개발툴 때문에 쾌적하게 코딩을 할 수 있다. JAVA를 시작할 때는 어느 IDE를 사용해야 하는가부터 고민해야 하지만 C#의 경우는 (윈도를 사용한다면) 그럴 필요가 없다.



C언어 정도만 어느 정도 알고서 C#을 공부하면서 감탄을 많이 했던 기억이 난다. 이런 것도 있구나. ('포인터가 없어!'하고 놀랐던 기억도) 무엇보다도 어렵게만 느껴졌던 윈도우 프로그래밍이 폼(form)이라는 객체들을 이용하여 이용하여 직관적으로(드래그 & 드랍) 디자인하고 개별 폼 뒤에 동작하는 코드 조각을 작성하여 전체를 짜맞추어 나가는 과정이 상대적으로 쉽게 느껴졌다. 지금은 또 WPF라는 차세대 개발 방법까지 나와 있지만 내 경우에는  {윈도우 프로그래밍 == 폼 프로그래밍} 으로  인식되어 있다.


그런데 아무리 좋은 언어라도 개발 환경이 고가라면 역시 쉽게 접근하기 어려울 것이다. 하지만 VS Express라는 이름으로 MS사는 개발툴을 무료로 배포하고 있었는데 요즈음에는 아예 .net framework 를 오픈소스로 공개하고 개발툴도 무료로 배포하고 있다. 심지어 이 무료툴로 상용 프로그램을 개발해서 판매를 하더라도 아무런 제약이 없다. 앞으로는 C#으로 맥용 뿐만 아니라 (자바와 같이) 리눅스 앱도 만들 수 있게 될 것이라고 한다. 또한 윈도우에서만 쓸 수 있던 개발 환경이 멀티 플랫폼으로 옮겨가고 있으니 전에는 상상도 못 했던 일이다.




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 맥시마는 내부적으로 미리 정의된 수학 상수들이 있는데 다음 표와 같다.


[표 1] 맥시마의 내부 상수들

기호

의미

%e

자연 상수 (2.718182…)

%pi

원주율 ( 3.1415…)

%i

허수

true, false

참, 거짓

%gamma

Euler-Mascheroni constant, 0.577215…

%phi

황금율 (1+sqrt(5))/2

_ (언더바)

직전 입력

%

직전 출력

inf, minf, infinity

+무한대, -무한대, 무한 복소수

zeroa, zerob

무한소 (infinitesimal above/below zero)

ind

부정수 (indefinite number)

und

undefined number


이 표에 있는 상수 중에서 %e, %i, %pi는 특히 많이 쓰이니 꼭 숙지해야 하며, 입력할 때 %기호를 빠뜨리기 쉬우니 주의해야 한다.


 복소수를 입력하는 것은 허수 %i를 이용한다.



첫 번째는 3i 를 입력한 것이고 두 번째는 복소수 4-5i 를 생성하여 변수 a에 대입하는 것이다. 5와 %i 사이의 곱(*) 기호를 빠뜨리면 안된다.


 지수함수 ex를 입력하는데 %e 상수를 이용할수도 있고 exp(x)함수를 이용할 수 도 있다. 두 방법은 동일하다.



 어떤 상수의 실수 근사값을 알고 싶다면 float()함수를 이용하거나 ‘, numer’ 명령을 이용한다.




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 산술 연산은 타 프로그래밍 언어에서도  거의 공통적으로 쓰이는 기호가 맥시마에서도 사용된다. 맥시마는 수를 표현하는 방식에서 ‘기호 형식’과 ‘수치 형식’이 있으며 (numer 라는 내부 변수에 의해서 지정됨.) 기본적으로 초기에는 기호 형식으로 동작한다. 이 두 가지 형식의 차이점을 예를 들어서 설명하면 다음과 같다. 기호모드에서는 1/11 이라는 분수를 그냥 분수의 형태로 저장하며 사실 이 수는 이 형태가 정확한 표현인 것이다. 그러나 수치모드에서는 이 숫자를 입력하면 0.090909090909091 와 같이 소수형식으로 표현되며 엄밀히 얘기하면 이 수는 1/11 의 근사값이다. 다음 [표 1]에 Maxima에서 쓰이는 산술연산기호를 정리하였다.

[표 1] 맥시마의 산술 연산자

기호

작업

비고

+

덧셈

※내부 변수 numer 의 진리값에 따라 표시 결과가 다름

-

뺄셈

*

곱셈

/

나눗셈

^

거듭 제곱



똑같은 명령어라도 수치 형식인 경우는 결과가 달라진다. 내부 변수와 변수에 값을 지정하는 방법은 뒤에서 다루어지므로 여기에서는 그냥 결과만 확인하자.



여기에서 numer:true 명령은 numer라는 내부 변수에 true라는 값을 대입하는 것이다. 맥시마는 특이하게 대입 연산자가 콜론(:)이다.


 만약 현재 모드를 바꾸지 않고 특정 수식의 실수 값을 확인하고 싶으면 float()함수를 사용하거나 표현식 뒤에 ‘, numer’라고 추가입력하면 된다.



 산술연산 기호를 이용하면 Maxima에는 대수식이나 방정식과 같은 것들도 쉽게 표현할 수 있다. 만약 x2+2x+1,1/(y2+1)이라는 대수식을 입력하려면 아래와 같이 하면 된다.



 연습 문제로 다음과 같은 식을 입력하고 확인해 보자.



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 wxMaxima를 설치하고 실행시키면 명령어를 입력할 수 있는 윈도우가 실행된다. wxMaxima에서는 입력 명령어와 출력 결과가 하나의 쌍으로 표시되며 화면 왼편에 다음 그림과 같은 모양의 바가 표시 되는데 이것을 셀(cell)이라고 칭한다.


[그림 1[ 명령 입력 단위인 셀(cell)


하나의 셀을 가리키는 이 바의 상단의 작은 삼각형을 클릭하면 셀의 내용을 접었다 폈다 할 수 있다. 이제 이곳에 명령어를 타이핑해서 입력하면 그 계산결과가 바로 같은 셀 안에 표시된다.

 처음에 wxMaxima에서 주의할 것은 명령을 입력하려면 그냥 [Enter]키가 아니라 󰍬[Shift]+[Enter] 를 눌러야 명령이 입력된다는 것이다. 하나의 명령이 끝났다는 표시는 세미콜론(;) 혹은 달러($)표시를 명령 끝에 타이핑하면 되지만, [Shift]+[Enter]를 입력하면 자동으로 명령 끝에 세미콜론(;)이 붙고 결과가 표시된다.



 한 줄에 여러 개의 명령을 입력하고 싶을 때는 세미콜론(;) 또는 달러($)로 구분하면 되며, 차이점으로는 달러($)로 끝나는 명령의 출력은 화면에 표시되지 않는다는 것이다. 다음 예에서 x^2+2*x$ 명령은 $로 끝났기 때문에 결과가 화면에 표시되지 않는다.



위에서 sqrt()함수는 제곱근(square root) 값을 입력하는데 사용된다. sin( ), cos( )함수는 각각 사인함수와 코사인함수를 입력하는데 사용된다. 사인함수를 입력하는데 그냥 sinx라고 하면 안 되고 반드시 독립변수에 괄호를 쳐서 sin(x)라고 입력해야 됨에 유의하자.




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