MATLAB에서 벡터의 원소를 참조하거나 벡터의 원하는 위치에 값을 설정하려고 할때는 아래와 같이 한다.

위에서 첫 번째 명령은 a벡터의 k번째 요소를 변수b에 저장하라는 것이고 두 번째 명령은 b변수값을 a벡터의 k번째 자리에 저장하라는 것이다. 여기서 a벡터는 행벡터이든 열벡터이든 동일하게 적용된다. 아래의 예를 보자

 행렬의 한 원소에 접근하여 원하는 위치에 값을 읽어오거나 바꿀려고 할 때는 아래와 같이 괄호 안에 행 수와 열 수를 콤마(,)로 구별하여 지정한다.

즉, 행렬 A의 k1행 k2열 원소를 참조하고자 할 때 A(k1,k2)로 입력한다.

만약 어떤 행이나 어떤 열의 모든 원소를 선택하고자 하면, 선택하고자 하는 해당 열이나 행을 지정할 때 콜론(:)을 단독으로 사용한다. 행렬의 지정자로 콜론(:)이 단독으로 쓰이면 ‘전부(all)’라는 의미를 갖는다. 다음 예를 보자.

여기서 A(1,:)는 ‘1행, 전체’를 가리키고 A(:,3)은 ‘3열,전체’를 가리킨다.

행이나 열의 특정한 부분만 선택하고자 하면 선택하고자 하는 해당 열이나 행를 벡터로 지정해주면 된다. 예를 들어

위에서 마지막 예제의 결과는 다음 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

[그림 1] 선이 겹치는 부분이 선택된다.

A행렬에서 지정한 행과 열이 겹치는 곳에 위치한 요소만 선택이 되어진다는 것을 [그림 1]을 보면 쉽게 이해할 수 있다. 즉 [그림 1]에서 1행과 3행에 가로선을 그리고 2열과 3열에 가로선을 그어보면 선들이 겹치는 부분만 선택되는 것이다.

 A([1 3], :) 명령어를 읽을 때 ‘A행렬의 1행 전체, 3행 전체’라고 읽으면 정확하고 결과값도 1행 밑에 3행이 위치한다. 그런데 다음 예제롤 하나 더 보고 넘어가자.

A([3 1], :)명령어와 그 결과를 보면 ‘3행 먼저, 그 다음 1행’순으로 인덱스 벡터에 써준 순서대로 요소를 뽑아낸다는 것을 알 수 있다. A(:, [3 2])도 마찬가지로 ‘3열 먼저. 그 옆에 2열’이라는 것을 알 수 있다.

 열벡터란 세로로 세워져 있는 모양의 벡터고, 행벡터는 가로로 길쭉한 벡터이다. 보통 그냥 벡터라고 하면 열벡터를 의미한다. 여기에서도 앞으로 열벡터는 그냥 벡터라고 지칭한다.

MATLAB 명령어창에서 nx1 행렬을 입력하면 열벡터를, 1,n 행렬을 입력하면 행벡터를 만들 수 있다.

행벡터 혹은 열벡터를 입력하거나, 생성시켜야 하는 경우에 각 벡터 요소들의 증가 혹은 감소분이 일정하다면, 각 요소들을 다 입력할 필요 없이 초기값, 최종값, 증감값으로 생성시킬 수 있다. 여기에서 사용되는 것이 콜론(:)연산자이다. 이 연산자는 여러모로 쓸모가 많으므로 잘 숙지해 두어야 한다. 입력형식은 아래와 같다.

이 명령은 초기값으로부터 최종값까지 증감값만큼 증감시킨 수열을 요소로 갖는 행벡터를 생성하여 변수에 저장하게 된다. (행벡터를 생성한다는데 주의하자!) 예를 들어, 변수이름 a로 1부터 10까지 1의 간격으로 행벡터를 만들고자 한다면 다음과 같이 입력하여 실행한다.

증가분이 1이라면 증감값을 생략할 수 있다. 즉 위의 명령은 다음과 같다.

즉, 증감값이 생략된 다음과 같은 형태라면

증감값은 1이라는 것을 의미하며 초기값부터 최종값까지 1씩 증가시켜서 행벡터를 만든다.

 만약 8부터 2까지 2씩 감소하는 간격으로 열벡터를 만들고자 한다면 다음과 같이 입력하여 실행한다.

전술한 바와 같이 콜론 연산자를 사용하면 기본적으로 행벡터가 생성되므로 열벡터를 얻기 위해서는 ‘전체’ 벡터의 전치를 취해야 한다. 다음과 같이 입력하면 어떻게 되는지 한번 수행해 보자.

여기에서 2’은 2와 같다. MATLAB에서 전치 연산자(‘)와 콜론(:) 연산자 중에서 전치 연산자의 우선 순위가 더 높으므로 위 명령은 a=8:-2:2 와 동일한 동작을 수행한다.

 여기에서는 이전 포스트에 이어서 기본적인 행렬 생성의 기본적인 내용을 설명하겠다. 행렬 X가 다음과 같이 복소행렬(행렬의 요소 중 하나 이상이 복소수인 행렬)이라고 하자.

아래와 같이 입력하면 화면에 행렬 X가 나타난다. j 대신 i가 쓰일 수도 있다.

위와 같이 MATLAB에서 허수를 나타내기 위해서 ‘i’ 혹은 ‘j'를 사용한다. 그러므로 변수 이름으로 ‘i’와 ‘j'를 사용하지 않아야 한다.

수식 입력의 편의를 위해서 복소수를 입력할 때에는 위에서와 같이 ‘3i’를 입력해도 가능하다. 그러나 i 가 허수단위가 아닐 때에는 불가능하며 앞에서도 설명한 바 있듯이 'i3'으로 입력하면 안된다는 것이 유의하자. i3은 변수명으로 해석하기 때문이다.

 만약 ‘i’를 행렬 이름으로 (즉, 변수로) 사용했을 때는 그 행렬이 존재하는 한 ‘i’는 행렬 이름이며 허수가 아니다.

‘i’를 다음과 같이 지우면 다시 허수로 사용할 수 있다.

여기서 clear 명령어는 그 뒤에 오는 변수를 메모리에서 지우는 일을 수행한다. 만약  ‘i’가 행렬 변수로 사용되고 있을 때는 ‘sqrt(-1)’을 이용하여 허수를 만들 수 있다.

하지만 ‘i’ 나 ‘j’는 MATLAB에서는 일종의 예약어(keyword)이므로 변수명으로 사용하는 것은 피하는 것이 바람직하다.

 MATLAB에서 복소수를 취급하는 기본적인 함수들은 다음 표와 같다.

[표 1] 복소수 관련 내장 함수들

 만약 각도의 결과를 라디안에서 도(degree)로 바꾸고 싶다면 angle()함수의 결과값에 360/2π 를 곱하면 된다.

 복소행렬의 전치를 구할 때는 약간의 주의가 필요하다. 복소전치행렬(complex conjugate transpose)을 구할 수도 있고 그냥 전치행렬을 구할 수도 있다. 복소전치행렬은 각 행렬 요소들의 공액 복소수(complex conjugate, 허수부의 부호만 바뀐 복소수)를 구한 다음 전치를 하는 것이다. 이전 포스트에서 설명한 (‘)연산자가 실은 복소전치행렬을 구하는 연산자이다. 다음 예에서 이것을 확인할 수 있다.

이와 다르게 행렬의 복소수 요소의 공액복소수를 취하지 않고 단순히 비대각요소의 위치만 전치하고 싶다면 (.‘)연산자를 사용한다.

 두  전치연산자 (‘)와 (.’)의 차이에 주의해야 한다.

 여기에서는 이전 포스트에 이어서 기본적인 행렬 생성의 기본적인 내용을 설명하겠다.

함수의 행렬

 행렬을 입력하는 또 다른 예로, 아래와 같이 주어진 행렬 C를 생각해보자.

위 행렬은 다음과 같이 입력될 수 있다.

여기서 exp(x)함수는 ex 값(exponetial)을 구하는 함수이고, sqrt(x)함수는 제곱근(square root)을 구하는 함수이다. exp(x)함수나 sqrt(x)함수의 용법이 궁금하다면 help 명령어를 사용하면 된다. help exp 명령을 내리면 exp()함수에 대한 기본 설명, 유사한 함수들 그리고 오버로드(overload)된 함수들에 대한 설명이 나오는 것을 알 수 있다. 유사한 함수들의 목록에 expm()함수가 있는데 함수명 끝의 m은 이 함수가 행렬연산을 한다는 것을 나타내며 스칼라 연산 함수들은 보통 대응하는 행렬 연산 함수를 가지고 있다.

[그림 1] Octave 4.0에서 help exp 명령을 수행한 결과

전치 행렬 (transpose)

 어떤 행렬의 전치행렬(transpose)을 만드는 방법은 행렬의 끝에 작은따옴표 (‘)를 붙이는 것이다. 예를 들어서 C행렬의 전치행렬을 만들어 D에 입력하고 싶다면 다음과 같이 한다.

어떤 행렬의 대각 요소(diagonal element)란 행 인덱스와 열 인덱스가 같은 요소를 그리고 비대각요소(off-diagonal element)는 같지 않은 요소를 의미한다. 위의 예에서 행렬 C의 비대각요소의 위치가 대칭적으로 바뀌어서 D에 저장되었음을 알 수 있다.

 또는 행렬을 입력할 때 마지막에 (‘)을 추가하면 입력되는 행렬의 전치행렬이 바로 구해진다.

이와 같이 전치 행렬은 행렬의 끝에 작은 따옴표로 쉽게 구해진다.

 MATLAB은 수치해석(numerical analysis)을 수행하는 대표적인 프로그램이다. 원래 MATLAB은 Cleve Moler에 의해 처음에는 Fortran으로 작성되어 DOS상에서 구동 가능한 소규모 수치해석 프로그램으로 출발하였으나, 현재는 미국의 MathWorks사에 의해 java virtual machine 위에서 구동되는 (따라서 대부분의 OS를 지원한다.) 대규모 패키지 프로그램으로 발전하였다.

 MATLAB은 수치 해석에 특화된 언어 문법을 가지고 있으며 친숙한 수학적인 기호와 간단한 문법으로 복잡한 계산을 수행할 수 있다. 전형적인 이용 범위는 다음과 같다.

• 수학과 관련된 계산

• 알고리즘 개발

• 상황 모델링과 data분석

• 여러 가지 과학과 공학적인 그래픽적 표현

• GUI(Graphical User Interface)에 의한 에플리케이션 개발

 현재 MATLAB은 학계나 연구소등에서 광범위하게 사용되고 있으며 사실상 수치해석툴의 표준으로 자리잡고 있다. 이 프로그램은 범용으로 사용되는 프로그램언어인 C나 C++과는 달리 전문적으로 수치 계산을 하기 위한 프로그램이다.

 간단한 예로 행렬의 곱셈을 들어 보자. 두 개의 행렬을 곱셈하는 프로그램을 C언어로 작성하려고 한다면 2차원 배열을 두 개 잡아서 두 행렬을 각각 저장한 후 반복문 (for 나 while 같은 반복문 명령)을 중첩해서 사용해야 계산 결과를 얻어낼 수 있다. 계산결과를 화면에 출력하거나 파일로 저장하는 추가적인 루틴도 작성해야 한다.

하지만 MATLAB에서는 간단하게 한 줄의 명령으로 이를 수행할 수 있다.

또한 미분방정식의 해나 적분등도 쉽게 계산할 수 있으며 그 결과를 그래픽으로 보여주는 기능 또한 다양하다. 이러한 수학 계산들을 C 혹은 C++이나 다른 범용 프로그래밍 언어로 구현하려고 한다면 고려해야할 사항이 한두 가지가 아닐 것이다.

 이처럼 MATLAB은 강력한 수학적인 능력을 갖고 있고 다양한 분야에 특화된 여러 toolbox(일종의 라이브러리임)를 갖추고 있으며 simulink라는 비쥬얼 모의 실험 환경과 같은 특수한 툴들을 갖추고 있다. 이러한 장점들에 의해서 수치 해석 툴의 강자로 자리매김하고 있다.

 수치 해석(numerical analysis)분야에서 독보적인 위치를 차지하고 있는 툴은 단연 MATLAB이다. 수치 해석에 특화된 독자적인 스크립트 언어를 가지고 있고 (문법 구조가 robust하지 않다는 평이 있긴 하지만) 다양한 분야에 적용가능한 toolbox와 폭넓은 이용자층, 개발사의 적극적 지원 등 장점이 많은 툴이다. java로 개발되어서 실행하려면 jvm을 먼저 설치해야 한다. (물론 jvm의 성능이 비약적으로 향상되었긴 하지만 속도면에서 불리한 면이 있지 않을까하는 짐작이 든다.)

 단점은 역시 꽤 고가의 툴이라는 점이며 이 점때문에 학부생들이나 가볍게 배워보려는 이들에게는 실습 도구로 사용하기에 적합하지 않다. 개발사인 mathwork사에서 라이센스를 꽤 엄격하게 관리하고 있기도 하다. (라즈베리파이에는 무료로 제공된다는 얘기도 있는데 아직 확인을 못 해 봤다. 그리고 그 사양 위에서 matlab이 원활하게 실행될 것 같지도 않다.) 국내에서 출판된 공학 수학 교재들 중에 MATLAB을 보조적으로 사용하는 것들이 있는데 이런 점에서 적절치 않다고 생각한다.

 다른 대안이 없는 것은 아니다.일단 Octave라는 걸출한 오픈 소스 프로그램이 있는데 Matlab과의 문법 호환성이 거의 100%라서 기본적인 코드는 거의 변환 없이 실행이 가능할 정도이므로 학부생들의 기초 교육은 이것을 사용하면 된다. 그동안 gui 환경이 갖춰지지 않아서 불편했는데 (베타 버전이긴 하지만) 최근에는 gui환경도 지원하기 시작해서 더욱 고무적이다.

 그 외에도 scilab이 있는데 scilab은 유럽 등지에서는 꽤 유명하고 널리 쓰이는 수치해석 툴로써 무료로 사용할 수 있는 프리웨어이다. 하지만 개인적으로는 matlab과는 많이 동떨어진 문법을 가지고 있고 익히기도 꽤 어려웠다는  경험이 있다. 그리고 freemat 이라는 것도 있는데 matlab과 100%호환되는 툴을 지향하고 개발되기 시작했으나 2013년 이후로 개발이 중지된 것 같다. 최근에는 python+numpy 라는 (역시 오픈소스) 떠오르는 방법도 있다. (필자는 이것을 가장 추천하는 편이다.)

 모든 개발 환경이 클라우드로 옮겨가고 있는 추세이다. matlab은 아니지만 가장 간편하게 (무료로) matlab 코드를 실행시킬 수 있는 방법은 온라인 옥타브이다. 접속하면 바로 코딩이 가능하고 그 결과를 즉시로 확인해 볼 수 있다.

위 그림에서와 같이 plot()명령의 결과도 바로 확인할 수 있다. 단, scrip파일을 작성하려면 로그인을 해야 한다.

mathclouds 라는 사이트도 있다. 여기에서도 matlab 문법을 지원한다.

matlab 실습을 가장 간편하게 할 수 있는 방법은 이러한 서비스들을 사용하는 것이다.

 MATLAB에서 취급되는 모든 데이터형은 기본적으로 행렬(matrix)이다. 스칼라(scalar)값은 1☓1차원의 행렬이고 벡터는 n☓1차원의 행렬이다. 일반적으로 수학 교재에서 그냥 벡터라 하면 열벡터(column vector)를 의미하는 경우가 많다. 이 책에서도 앞으로 그냥 벡터라고 하면 열벡터를 의미하는 것으로 한다. 심지어 문자열도 그 문자 각각의 아스키(ASCII)코드값의 행렬(벡터)로 표시하며 다항식은 계수들의 행렬(벡터)로 표시한다. 함수에 넘겨주는 입력 파라메터도 행렬이고 함수의 수행 결과 생성되는 출력값도 역시 행렬이다. 앞으로 다음과 같이 구분하도록 하겠다. (m,n은 양의 정수)

       ① 스칼라 : 1x1차원의 행렬

       ② 벡터 : nx1차원의 행렬 (행벡터 : 1xn 차원 행렬)

       ③ 행렬 : mxn 차원의 행렬

 이제 행렬을 저장하는 변수를 만드는 기본적인 방법을 설명한다. MATLAB에 행렬을 입력하는 방법의 하나는 원소들을 대괄호 안에 입력하는 것으로 각 원소들은 공란 또는 콤마로 분리되어야 한다. 예를 들어 다음과 같은 행렬은

아래와 같이 한 줄에 입력할 수 있다.

위에서 보듯 행렬의 원소들을 대괄호 안에 입력해야한다. 모든 행의 원소들은 공란 또는 ‘,’로 분리되어야 하며, 마지막 행을 제외한 각 행의 끝은 세미콜론으로 구분한다.

 크기가 큰 행렬은 몇 개의 입력 줄로 펼쳐서 나타낼 수 있다. 예를 들어 다음과 같은 행렬 B를 생각해보자.

이 행렬은 다음과 같은 네 줄로 나눠서 입력할 수 있다.

여기서 ‘]’뒤에 세미콜론 ‘;’를 사용하였는데 끝에 세미콜론을 할 경우 처리 결과를 출력하지 않는다. 또한 각행의 마지막에 세미콜론 ‘;’을 사용하였는데, 이것을 생략하여도 같은 행렬로 입력된다.

 이미 만들어진 행렬을 이용하여 새로운 행렬을 만들 수도 있다.

이 예에서는 이미 만들어진 행렬 A를 이용하여 A행 밑에 한 행을 추가하여 새로운 행렬 A1을 생성하였다.

[그림 1]  행렬 A1의 구조

새로운 열을 A행렬 오른편에 추가하고 싶다면 다음과 같이 하면 된다.

또는 다음과 같이 한 번에 같은 일을 수행할 수도 있다.

 다른 예로 A행렬을 두 번 이용하여 다음과 같이 새로운 AA라는 행렬을 만들 수도 있다.

위에서 행렬 A를 옆으로 나란히 붙어서 새로운 행렬 AA를 만들었다. 또는

위에서는 행렬 A를 밑으로 나란히 붙어서 새로운 행렬 AA2를 만들었다. 위와 같이 기존에 생성된 행렬들을 합성하여 새로운 행렬을 만들 때는 그 행렬들의 차원에 주의해야 한다. 다음의 예를 보자.

두 행렬을 옆으로 연결할 때는 행수가 같아야 하고 밑으로 붙일 때는 열수가 같아야 한다. 그렇지 않으면 위와 같이 오류가 발생한다.

 오토데스크사의 인벤터를 사용하다 보니 이것과 비슷한 워크플로우로 작업을 할 수 있는 오픈 소스나 무료 프로그램이 있을까 해서 찾아보았는데 다음과 같은 것들이 눈에 띈다.

• autodesk 123d Design

• freeCAD

• designspark mechanical

123d Design 은 인벤터 개발사인 autodesk사가 만든 것인데 프로버전은 구매를 해야 하지만 기 본적으로 무료로 사용할 수 있고 인벤터에 익숙하다면 곧바로 사용할 수 있을 정도로 구성이나 메뉴가 유사하다. 간단한 기계부품을 설계하는데 손색이 없다. 독립적인 프로그램을 설치해서 사용할 수도 있고 웹버젼도 있다는 것이 특징이다.

[그림 1] autodesk 사의 123d design

 freeCAD는 아직 버전이 0.15 이지만 싱당히 강력해 보이는 3d캐드이다. 오픈소스로 개발되고 있으며 가강 강력한 인벤터의 alternative가 아닐까 개인적으로 생각된다. 향후 발전이 상당히 기대된다.

[그림 2] freecad 오픈소스 무료 3d 캐드 프로그램이다.

 designspark mechanical은 rs 사에서 제공하는 무료 기계설계 3d캐드 프로그램이다. 현재 (2014년 10월) 버전은 1.0이지만 기능은 빈약한 것 같다.

[그림 3]  designspark mechanical

 이 중에서 가장 인벤터와 비슷하게 사용할 수 있는 것을 꼽으라면 freecad 이다. 인벤터에서의 설계 순서(2d 스케치 -> 돌출 -> 2d 스케치 -> 돌출…)와 비슷하게 기계 부품을 설계해 나갈 수 있다.

 학부생들에게는 (공대생이라 할 지라도) 수학 계산에 쓰이는 프로그램이 낯설 것이다. 여기서 '수학 계산에 쓰이는 프로그램'이라는 것은 윈도우를 깔면 기본으로 제공되는 계산기 프로그램을 말하는 것이 아니라 수학 문제를 해결하는데 사용되는 전문적인 프로그램을 말하는 것이다.

 사실 공대에 들어와서 <일반 수학>이나 <공학 수학>같은 과목들을 배울 때에는 손으로 풀거나 공학용 계산기 같은 것으로 함수 입력해서 그래프를 그리고 하는 방식이 아직까지는 익숙한 풍경이다. 학부생들이 전문적인 컴퓨터 프로그램을 이용한다는 것은 그리 일반적이지는 않은 것 같다. '곱셈이나 나눗셈' 하면 '계산기'가 보통은 떠오르지만 '방정식'을 푸는데 컴퓨터로 그 식들을 입력하고 엔터키를 치면 그 해를 간단히 구할 수 있다는 것을 아는 학부생들이 얼마나 될까.

 이러한 수학 과목에서 매스메티카(mathematica)나 매트랩(matlab)을 실습에 도입한 교재들이 간간히 있기는 하다. 하지만 이들 패키지는 고가의 상용 제품들이므로 학부생들이 자유롭게 실습에 이용하기에는 제약이 따른다. 하지만 훌륭한 대안이 있는데 바로 Maxima와 Sage라는 프리웨어들이다.

[그림 1] Maxima의 외형

 이 그림의 첫번째 명령에서 보면 입력방정식이 x2+ax+b=0 으로 a와 b라는 기호를 어떤 수치값을 갖는 변수가 아니라 문자상수로 취급하여 그 해를 보여줌을 알 수 있다. 이렇게 문자 상수를 숫자처럼 다루는 것을 기호식 해석(symbolic analysis)라 하고 mathematica, maple, maxima, sage와 같은 프로그램이 사용된다. 반면, 변수 이외의 모든 기호는 어떤 수치값을 지정하여 문제를 푸는 것을 수치 해석(numerical analysis)라고 하고 일반 계산기 (프로그램), MATLAB, SciLab, Octave, FreeMat 등의 프로그램이 사용된다.

[그림 2] Sage의 외형

 개인적인 관심은 <공학 수학>의 교과 과정에 Maxima나 Sage 같은 프로그램의 사용법을 접목시킬 수 있는가이다. 공과 대학의 수학 과목들이 학생들이 주어진 공학적 문제를 수학적으로 모델링하고 그것을 해결하는 능력을 배양하는 데에 목적이 있지만 이제는 컴퓨터를 이용한 문제 해결 능력도 같은 비중으로 다루어져야 한다고 생각하기 때문이다. 즉, 기존에는 수학에서 컴퓨터 이용 능력이 보조적인 역할로 다루어졌지만 이제는 동등하거나 혹은 더 비중있게 다루어져야 하지 않을까 하는 생각이 든다.

 PC로 문서 작업하다보면 눈의 피로 때문에 색상을 반전하고 싶은 경우가 있다. 어떤 에디터들은 dark테마 같은 기능이 있어서 전체 색상을 어두운 색조로 바꿀 수 있는데 HWP 나 pdf 문서를 볼 때는 이런 기능이 아쉽다.

 윈도우즈7에 기본으로 포함되는 돋보기(magnifier)라는 유틸에 이 화면을 반전하는 기능이 있다. 먼저 [Windows키]+[U] 를 누르면 접근성센터가 열리는데 여기서 {돋보기 시작(G)} 버튼을 누르거나 [Alt]+[G] 를 누르면 돋보기를 실행시킬 수 있다. 또는

• [윈도키]+[+] 혹은 [윈도키]+[-]

를 누르면 돋보기가 실행되면서 화면이 한 단계 확대/축소된다.

여기서 기어모양의 아이콘(설정)을 누르면 다음과 같은 화면이 뜨는데 여기서 {색 반전 사용(I)} 을 선택 [v] 하거나 [I] 키를 누르면 화면이 반전된다. 또는 돋보기가 실행된 상태에서 단축키

• [ctrl]+[alt]+[ I ]

를 눌러도 화면이 반전된다. (반드시 돋보기가 실행된 상태여야 한다.)

돋보기를 종료시키려면

• [윈도키]+[ESC]

를 누르면 된다.

컴퓨터 작업을 많이해야 되는데 눈이 시원찮은 사람들에게는 무척이나 유용한 기능이다.