The differential equation is a second-order linear homogeneous differential equation with constant coefficients. It can be solved using the method of characteristic equations.

The characteristic equation is found by setting the characteristic polynomial equal to zero:
r^2 + 3r + 2 = 0

Solving this equation, we get: r = -1, -2

These are the roots of the characteristic equation, which are real and distinct.

Therefore, the general solution to the differential equation is:
f(x) = c1e^(-x) + c2e^(-2x) + Asin(x) + Bcos(x)

Where c1, c2, A, B are arbitrary constants determined by initial or boundary conditions.

We can use the initial conditions f(0) = 1 and f'(0) = 2, to find the values of c1, c2, A, B.

f(0) = 1 = c1e^(0) + c2e^(0) + A = c1 + c2 + A

f'(0) = 2 = -c1e^(0) - 2c2e^(0) + B = -c1 - 2c2 + B

Therefore, c1 = 1 - A - c2 and c2 = (2 - B)/2

Substituting the value of c1 and c2 in the general solution, we get:
f(x) = (e^(-x)(1 - A - c2) + e^(-2x)(2 - B)/2) + Asin(x) + Bcos(x)

This is the solution to the differential equation f''(x) + 3f'(x) + 2f(x) = sin(x) with the initial conditions f(0) = 1, f'(0) = 2.

거의 완벽한 해법을 제시한다. 충격이다.

The differential equation can be solved using an integrating factor. An integrating factor for this differential equation is e^(int(2)dx)=e^(2x).

Multiplying both sides of the differential equation by e^(2x) gives:
e^(2x)f'(x) - 2e^(2x)f(x) = e^(3x)

Now, we can use the product rule for derivatives, which states that:
(e^(2x)f(x))' = e^(2x)f'(x) + 2e^(2x)f(x)

Therefore, we can write:
(e^(2x)f(x))' = e^(3x)

Integrating both sides with respect to x gives:
e^(2x)f(x) = (1/3)e^(3x) + C

where C is a constant of integration.

Finally, we can solve for f(x) by dividing both sides by e^(2x):
f(x) = (1/3)e^x + Ce^(-2x)

where C is determined by initial or boundary conditions.

Q) solve the above differential equation with initial condition f(0)=1

The initial condition f(0) = 1 tells us that when x = 0, the function f(x) has a value of 1. We can use this information to find the constant of integration C.

Substituting x = 0 into the general solution, we get:
f(0) = (1/3)e^0 + Ce^(-2*0) = (1/3) + C = 1

So, C = (1 - 1/3) = 2/3

Therefore, the solution to the differential equation f'(x) - 2f(x) = e^x with the initial condition f(0) = 1 is:
f(x) = (1/3)e^x + (2/3)e^(-2x)

The determinant of a 3x3 matrix A, denoted as det(A) or |A|, is a scalar value that can be calculated from the elements of the matrix.

The formula for the determinant of a 3x3 matrix is:

| a b c |
| d e f | = a*(ei - fh) - b*(di - fg) + c*(dh - eg)
| g h i |

where a, b, c, d, e, f, g, h, i are the elements of the matrix A.

It can also be computed using the rule of Sarrus which is a mnemonic device to remember the formula for 3x3 determinant:

| a b c |
| d e f | = aei + bfg + cdh - afh - bdi - ceg
| g h i |

The determinant of a matrix has many uses in linear algebra and it is used to determine the invertibility of a matrix, it is also used to calculate the area or volume of a parallelepiped spanned by the columns or rows of the matrix.

To find the derivative of xsec^2(x) with respect to x, we can use the chain rule. First, we need to express xsec^2(x) in terms of its reciprocal function, csc(x).

xsec^2(x) = 1/(csc(x))^2

Using the reciprocal function identities, csc(x) = 1/sin(x) and sec(x) = 1/cos(x), we can then express xsec^2(x) as:

xsec^2(x) = (cos(x))^2/(sin(x))^2

Now we can take the derivative of xsec^2(x) using the chain rule:

d/dx(xsec^2(x)) = 2cos(x)(-sin(x))(cos(x))/(sin(x))^2 + (cos(x))^2(-1/sin(x))*(cos(x))

Simplifying the equation, we get:

d/dx(xsec^2(x)) = tan(x)*sec^2(x)

So the derivative of xsec^2(x) with respect to x is tan(x)*sec^2(x).

Euler's formula, also known as Euler's identity, states that e^(itheta) = cos(theta) + isin(theta) for all real numbers theta.

To prove this formula, we can start with the Taylor series expansions of e^(ix) and cos(x) + i*sin(x).

e^(ix) = 1 + ix + (ix^2)/2! + (ix^3)/3! + ...

cos(x) + i*sin(x) = 1 - (x^2)/2! + (ix^2)/2! - (x^4)/4! + (ix^4)/4! - ...

Matching the real and imaginary parts of these two equations, we see that:

1 = 1
ix = ix
(ix^2)/2! = -(x^2)/2!
(ix^3)/3! = (x^3)/3!
...

Since the coefficients of each term match on both sides of the equation, we can conclude that e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) for all real numbers x, which is exactly the Euler's formula.

123457는 소수가 아닙니다. 이 수는 641와 191로 나누어 떨어지기 때문입니다.

증명:

1. a와 b가 서로소이면, gcd(a, b) = 1
2. gcd(a^2, b) = gcd(a, b) * gcd(a, b) = 1 * 1 = 1
3. gcd(a^2, b) = 1, 즉 a^2와 b가 서로소

따라서, a와 b가 서로소이면 a^2와 b도 서로소이다.

Here's one way to write a Python function that returns a list of prime numbers up to a given maximum value:

Copy code
def get_primes(maximum):
    primes = []
    for num in range(2, maximum + 1):
        for prime in primes:
            if num % prime == 0:
                break
        else:
            primes.append(num)
    return primes

print(get_primes(20))
This function uses a for loop to iterate through the numbers from 2 to the given maximum value. For each number, it checks if it is divisible by any of the prime numbers that have been found so far. If it is not divisible by any of them, it is added to the list of primes. At the end, the list of primes is returned.

You can call the function with a maximum value to get a list of all prime numbers up to that value. In the example above, the output would be [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19].